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Problema de Monty Hall

Al principio para que da totalmente igual porque no sabemos que hay detrás de las puertas, pero teniendo en cuenta estas suposiciones iniciales (no aclaradas en el enunciado) cambia la cosa:

Suposiciones Iniciales:

Esta solución se basa en tres suposiciones básicas:

que el presentador siempre abre una puerta,
que la escoge entre las restantes después de que el concursante escoja la suya,
y que tras ella siempre hay una cabra.
Estas suposiciones no se encuentran explícitamente en el enunciado.

Un estudio Probabilístico
La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.

Para matemáticos:
Sea X:(Omega,P) -> {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual se encuentra el coche. Sea Y:(Omega,P) -> {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes. Sea M: (Omega,P) -> {cabra,coche} lo que se encuentra detrás de la puerta que el moderador, de manera aleatoria, escoge (entre las que aún no se han abierto). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre). La probabilidad que el candidato se lleve el carro bajo el supuesto que él no cambia de puerta es entonces P[X=Y/M=cabra]=P[X=Y]=1/3. La probabilidad que el candidato se lleve el carro bajo el supuesto que él cambia de puerta es entonces P[X<>Y/M=cabra]=1-P[X=Y]=2/3. (Esta es la solución correcta)

Una solución incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria e uniforme entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el carro (dado que él no cambia de puerta) es P[X=Y/M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]= P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X<>Y]P[X<>Y])= (1/3 )/ ( 1/3 + (1/2)*(2/3))= 1/2. Por lo tanto, 0.5 es también la probabilidad que el candidato se lleve el carro (dado que él cambia de puerta).

¿Por qué sucede esto?
Porque lo que muestra el presentador no afecta a tu elección original, sino sólo a la otra puerta no escogida. Una vez se abre una puerta y se muestra la cabra, esa puerta tiene una probabilidad de 0 de contener un coche, por lo que deja de tenerse en cuenta. Si el conjunto de dos puertas tenía una probabilidad de contener el coche de 2/3, entonces, si una tiene una probabilidad de 0, la otra debe tener una probabilidad de 2/3. La elección, básicamente, consiste en preguntarte si prefieres seguir con tu puerta original o escoger las otras dos puertas. La probabilidad de 2/3 se traspasa a la otra puerta no escogida (en lugar de dividirse entre las dos puertas restantes de modo que ambas tengan una probabilidad de 1/2) porque en ningún caso puede el presentador abrir la puerta escogida inicialmente. Si el presentador escogiese al azar entre las dos puertas con cabras (incluyendo la del concursante), abriese una de ellas y luego diese de nuevo a elegir, entonces las dos puertas restantes sí tendrían la misma probabilidad de contener el coche.

Explicaciones Alternativas
El problema con las 100 puertas [editar]Una forma más clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiese 100, y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar que tras de ellas hay cabras, si no cambiase su elección ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces), mientras que si la cambia, ganaría si no lo ha escogido originalmente (y por tanto es lo que resta tras abrir las 98 puertas), ¡99 de cada 100 veces!

Una explicación gráfica:

Por si no se ve claro, aquí va una explicación gráfica: tenemos 3 cajas:

([?][?][?]) antes de comenzar el juego, la probabilidad de encontrar el premio entre las tres cajas es de 3/3 (es decir el premio está dentro del grupo de las tres cajas)

elijo… la 1ª

([?]) vs ([?][?]) ahora hay dos grupos: la caja que yo elegí (con probabilidad 1/3 y el grupo de las otras dos cajas (con probabilidad 2/3)

se descubre una cabra

([?]) vs ([B][?]) =1/3 vs 2/3

¿dónde es más probable que se encuentre el premio? ¿en mi caja o entre las otras dos (aunque una esté descubierta)?

Evidentemente es más probable que esté entre las otras dos.

Comprobémoslo con 6 cajas (cinco contienen cabra y una premio):

([?][?][?][?][?][?])antes de empezar hay una probabilidad 6/6 de encontrar el premio dentro del grupo

elijo la primera (o cualquier otra)

([?]) vs ([?][?][?][?][?])ahora hay dos grupos: la caja que yo elegí (con probabilidad 1/6 y el grupo de las otras cinco cajas (con probabilidad 5/6)

Preguntémonos en este punto: ¿dónde es más probable que esté el premio, en la caja que he elegido (1/6) o entre las 5 restantes (5/6)?

se descubren 4 cabras

([?]) vs ([B][B][?][B][B])=1/6 vs 5/6

Otra vez la misma pregunta: ¿dónde es más probable que esté el premio, en mi caja o entre las otras 5?

fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall

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